前言

推荐系统中有许多算法，本文主要讲解基于协同过滤的矩阵分解算法。

协同过滤

协同过滤简单来说是利用某兴趣相投、拥有共同经验之群体的喜好来推荐用户感兴趣的信息，个人通过合作的机制给予信息相当程度的回应（如评分）并记录下来以达到过滤的目的进而帮助别人筛选信息，回应不一定局限于特别感兴趣的，特别不感兴趣信息的纪录也相当重要。

矩阵分解

这里主要介绍LFM模型。

假如有两张表，一张是物品的属性表。

内容是每个物品该性质的程度。

	性质1	性质2	性质3
物品1
物品2

一张是是用户对每一种物品的喜爱程度。

	性质1	性质2	性质3
用户1
用户2

显然，用户对每一种物品的喜爱程度为对应行每个元素相乘。

另一种想法是，用户——评分表是一个低秩矩阵，我们要把这个矩阵表示出来。

梯度下降

将矩阵分解可以直接使用SVG，但是该矩阵极其稀疏，而且极大，需要大量算力。

这里使用梯度下降法，最小化误差。

\[Cost=\sum_{u,i\in R}(r_{ui}-\hat r_{ui})^2\]

可以加入正则项防止过拟合。

实战练习

从movielens下载10M数据。

该数据共71567名用户对10681电影的10000054条评分。

评分平均数3.51分，方差1.12分。

这里取矩阵大小为 $715672000$ 和 $106812000$ 。

训练集均方误差约0.12，测试集均方误差约0.67。